全国初中数学竞赛辅导（初1）第16讲 质数与合数

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　　假设只有有限多个质数，设为p1，p2，…，pn.考虑p1p2…pn+1，由假设，p1p2…pn+1是合数，它一定有一个质约数p．显然，p不同于p1，p2，…，pn，这与假设的p1，p2，…，pn为全部质数矛盾．
　　例7 证明：每一个大于11的自然数都是两个合数的和．
　　证 设n是大于11的自然数．
　　(1)若n=3k(k≥4)，则
n＝3k=6+3(k-2)；
　　(2)若n=3k+1(k≥4)，则
n=3k+1=4+3(k-1)；
　　(3)若n=3k+2(k≥4)，则
n=8+3(k-2)．
　　因此，不论在哪种情况下，n都可以表为两个合数的和．
　　例8 求不能用三个不同合数的和表示的最大奇数．
　　解 三个最小的合数是4，6，8，它们的和是18，于是17是不能用三个不同的合数的和表示的奇数．
　　下面证明大于等于19的奇数n都能用三个不同的合数的和来表示．
　　由于当k≥3时，4，9，2k是三个不同的合数，并且4+9+2k≥19，所以只要适当选择k，就可以使大于等于19的奇数n都能用4，9，2k(k=n-13/2)的和来表示．
　　 综上所述，不能表示为三个不同的合数的和的最大奇数是17．
练习十六
　　1．求出所有的质数p，使p+10，p+14都是质数．
　　2．若p是质数，并且8p2+1也是质数，求证：8p2-p+2也是质数．
　　3．当m＞1时，证明：n4+4m4是合数．
　　4．不能写成两个合数之和的最大的自然数是几？
　　5．设p和q都是大于3的质数，求证：24｜p2-q2．
　　6．设x和y是正整数，x≠y，p是奇质数，并且

　　求x+y的值．

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