全国初中数学竞赛辅导（初1）第15讲 奇数与偶数

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第十五讲 奇数与偶数
　　通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±1，±3，±5，…是奇数，0，±2，±4，±6，…是偶数．
　　用整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以表示为2k的形式，其中k是整数．
　　奇数和偶数有以下基本性质：
　　性质1 奇数≠偶数．
　　性质2 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．
　　性质3 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．
　　性质4 奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．
　　性质5 若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．
　　性质6 如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．
　　性质7 如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．
　　性质8 两个整数的和与差的奇偶性相同．
　　性质9 奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数.
　　性质1至性质6的证明是很容易的，下面我们给出性质7至性质9的证明．
　　性质7的证明 设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为一奇一偶，那么由性质2知，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．
　　同理两个整数的和(或差)是奇数时，这两个数一定是一奇一偶．
　　性质8的证明 设两个整数为X，y．因为
(x+y)+(x-y)=2x
　　为偶数，由性质7便知，x+y与x-y同奇偶．
　　性质9的证明 若x是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是
x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1．
　　因为k与k+1是两个连续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘积是偶数．于是，x2除以8余1．
　　若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是
y2=(2t)2=4t2
　　所以，y2是4的倍数．
　　例1 在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？
　　解 由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同
1+2+3+…+1998=999×1999
　　的奇偶性是相同的，即为奇数．
　　例2 设1，2，3，…，9的任一排列为a1，a2，…，a9.求证：(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是一个偶数．
　　证法1 因为
(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+…+(a9-9)
＝(a1+a2+…+a9)-(1+2+…+9)
=0
　　是偶数，所以，(a1-1)，(a2-2)，…，(a9-9)这9个数中必定有一个是偶数(否则，便得奇数个(9个)奇数的和为偶数，与性质4矛盾)，从而由性质5知
(a1-1)(a2-2)…(a9-9)
是偶数．
　　证法2 由于1，2，…，9中只有4个偶数，所以a1，a3，a5，a7，a9中至少有一个是奇数，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9至少有一个是偶数，从而(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．
　　例3 有n个数x1，x2，…，xn，它们中的每一个数或者为1，或者为-1．如果
x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1=0，
　　求证：n是4的倍数．
　　证 我们先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数．
　　由于x1，x2，…，xn。的绝对值都是1，所以，x1x2，x2x3，…，xnx1的绝对值也都是1，即它们或者为+1，或者为-1．设其中有k个-1，由于总和为0，故+1也有k个，从而n=2k．
　　下面我们来考虑(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)．一方面，有(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)＝(-1)k，
　　另一方面，有
(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)=(x1x2…xn)2=1．
　　所以(-1)k=1，故k是偶数，从而n是4的倍数．

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